Informations actuelles
La mesure de l'obliquité de l'écliptique de Pythéas
Biographie
Pythéas était un astronome et navigateur marseillais du IVè siècle avant J.C.. Le voyage qu'il a entrepris jusqu'au cercle polaire est une des premières expéditions scientifiques connues. Il réalisa de nombreuses mesures astronomiques, dont celle de la latitude de Marseille. Son calcul le plus célèbre est celui de l'obliquité de l'écliptique, l'angle entre le plan de l'orbite terrestre et le plan de l'équateur.
Le plan mathématique de l'obliquité de l'écliptique
Pour réaliser ses mesures, Pythéas utilise un gnomon (obélisque vertical) dont il mesure l'ombre au solstice d’été et à l’équinoxe. Il recherche l'angle entre les deux rayons, c'est-à-dire le rapport de l'ombre entre l'équinoxe et le solstice. La mesure étant difficile à entreprendre à la verticale, il reporte la figure au sol et trace un grand cercle : il mesure l'angle en fraction de circonférence. L'angle est reporté 15 fois dans le cercle et il y a un reste. Pythéas reporte le reste 11 fois dans une fraction déjà tracée du cercle, le second reste, jugé trop petit, est négligé.
Schéma représentant le montage réalisé par Pythéas
Schéma représentant la figure reportée au sol
On note C la circonférence, a le rapport de l'angle à la circonférence, r le reste et r' le 2nd reste négligé.
C = 15x(11+1)
C = 166 r
a = 11 r+ r
1 = 15 a+ r
a = 11 r
1 = 15 a+ r
a = 11 r
1 = 15x11 r+ r
a = 11 r
1 = r (15x11+1)
a = 11r
1 = 166 r
a = 11 r
r = 1/166
a = 11 r
a = 11/166
Cela correspond à un angle de : 11/166 x 360 = 23,5°.
Donc l'angle a de l'ombre entre le solstice d'été et l'équinoxe, c'est-à-dire l'angle de l'obliquité de l'écliptique (entre l'axe de rotation et la perpendiculaire au plan de l'écliptique) vaut 23,51°, ce qui est très proche de la mesure actuelle, soit 23,27° (qui varie en fonction du temps).
Notion de fraction continue
La fraction 11/166 = 1/[15+(1/11)] rappelle une fraction continue. La notion de fraction continue a été théorisée pour la première fois par Christian Huygens, mathématicien et astronome hollandais du XVIIe. Une fraction continue consiste à approcher une fraction ou un nombre plus petit que 1 grâce à une suite de divisions euclidiennes donnant des quotients et des restes. Si l'on part d'un nombre rationnel (qui peut s'exprimer comme fraction de nombres entiers relatifs), le processus peut s'arrêter, alors que si l'on part d'un nombre irrationnel, il peut continuer indéfiniment. On appelle ce procédé fraction continue.
De même qu'on approche un nombre réel de façon de plus en plus précise à mesure qu'on rajoute des décimales, une nombre irrationnel est de plus en plus précis à mesure qu'on rajoute des fractions étagées comme ci-dessus. Ainsi, pour définir précisément un nombre irrationnel, il faut un développement infini en fraction continue.
Ce procédé permet de donner les meilleures approximations fractionnaires d'un nombre réel donné : ce sont les réduites de ce réel. Par exemple, ici, la première réduite de l'angle mesuré par Pythéas est 1/15 et la deuxième réduite est 11/166.
Les informations actuelles
D'après des recherches menées précédemment par nos amis scientifiques, nous savons que les planètes du Système Solaire orbitent autour du soleil en suivant une ellipse, sur un plan : celui de la Terre est appelé plan de l'écliptique, et ceux des autres planètes ne sont inclinés que très légèrement par rapport à celui-ci. Elles tournent toutes sur un axe de rotation, ce qui entraîne une alternance entre le jour et la nuit plus ou moins longue en fonction de la vitesse de rotation de chaque planète.
En effet, l'axe de rotation de la Terre a une inclinaison d'environ 23,5° par rapport à la perpendiculaire à l'orbite. Elle est située à (en moyenne) 150 000 000 km Soleil, sa distance au Soleil variant de l'Aphélie (à 152 097 701 km du Soleil) au Périhélie (à 147 098 074 km du Soleil). Elle a un rayon de 6 318 km, sa période de révolution est de 365,25 jours et sa période de rotation de 24h. C'est une planète tellurique.
Intéressons-nous maintenant à d'autre planètes qui nous serons utiles par la suite.
L'axe de rotation de Vénus a une inclinaison de 177,30°. Elle est située à (en moyenne) 108 200 000 km du Soleil, avec un Aphélie à 108 942 109 km du Soleil et un Périhélie à 107 476 259 km du Soleil. Son rayon vaut 6 051 km, sa période de révolution vaut 224 jours et elle effectue un tour complet sur elle-même en 243 jours et dans le sens rétrograde. Elle est, comme la Terre, une planète tellurique.
L'axe de Jupiter a une inclinaison de 3,12°. Jupiter est à (en moyenne) 778 500 000 km du Soleil, cette valeur variant entre son Aphélie située à 816 620 000 km du Soleil et son périhélie situé à 740 520 000 km du Soleil. Jupiter a un rayon de 71 492 km, elle tourne autour du Soleil en 4 335 jours sur une période de rotation est de 9,8 h. Elle fait partie des planètes géantes.
L'axe de rotation d'Uranus quant à lui, est presque parallèle au plan de l'écliptique : son inclinaison vaut 97,80°. Uranus évolue à une distance moyenne de 2 877 000 000 km du Soleil, entre son Aphélie et son Périhélie éloignés respectivement de 3 004 419 704 km et 2 748 938 461 km du Soleil. Son rayon vaut 25 559 km, sa période de révolution 30 178 jours, et sa période de rotation 17,9 h. Elle est elle aussi une planète géante.
Enfin, l'axe de Neptune est inclinée de 29.56° par rapport au plan de l'écliptique, et c'est la planète du système Solaire la plus éloignée du Soleil : la distance moyenne entre Neptune et le Soleil est de 4 503 000 000 km, la distance entre son aphélie et le Soleil de 4 553 946 490 km et celle entre son Périhélie et le Soleil de 4 452 940 833 km. Elle a un rayon de 24 764 km, une période de révolution de 60 225 jours et une période de rotaion de 19,2 h. Elle aussi est une planète géante.
Vous vous demandez sans doute à quoi servent toutes ces informations ? Eh bien, elles nous seront nécessaires plus tard dans notre projet, et vous serez sans doute soulagés de toutes les retrouver en temps voulu !
